تستخدم الأعداد بوجه عام في العمليات الحسابية المختلفة كالجمع والطرح وخلافه، فهي تنقسم إلى أعداد نسبية وصحيحة وكسور وغيرها، أما عن الخصائص المنطبقة على الأعداد الحقيقة فهي تنطبق كذلك على الأعداد النسبية.
الأعداد النسبية الصحيحة
- تكون عبارة عن كتابة الرقم مكون من بسط ومقام مثل .
- يكون البسط والمقام أعداد صحيحة.
- المقام لا يمكن أبدًا أن يساوي الصفر بمعنى B
- الأرقام النسبية تكون موجبة في حالة ان كلًا من البسط والمقام يحمل الإشارة الموجبة (+).
- إذا حمل البسط أو المقام الإشارة السالبة (-)يكون العدد النسبي سالب.
- تشمل الأعداد النسبية جميع الأعداد الحقيقية، وتشمل الأعداد الحقيقة جميع الأعداد الصحيحة، وتضم الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية.
- يمكن تحويل الأعداد النسبية إلى أرقام صحية تضم علامة عشرية.
- الصفر لا يجوز أن يكتب في المقام ولكن يمكن كتابته في البسط.
خصائص الأعداد النسبية
- خاصية التبديل ا+ ب = ب+ ا
- خاصية الدمج حيث إن (ن + م)+ و =ن+(م + و)
- خاصية التوزيع أ × (ب + جـ) = (أ × ب) + (أ × جـ)
- خاصية العدد المحايد بحيث يعد الصفر عنصر محايد جمعي، والعدد 1 عنصر محايد ضربي.
- خاصية المعكوس هو المعكوس الجامعي ل
- المعكوس الضربي ل يكون
حالات الأعداد النسبية
- في حالة ضرب البسط والمقام في بعضهم البعض القيمة لا تساوي صفر أبدًا.
- عند القيام بقسمة كلًا من المقام والبسط على عدد صحيح نسبي لا تتغير قيمة البسط والمقال مثل مقسوم على 3 تكون النتيجة وهي نفس النسبة الأولى لكنها مع التبسيط.
- جمع وطرح الأعداد النسبية مع بعضهم البعض ينتج عنه عدد نسبي دائمًا.
- في حالة جمع عددين نسبيين ويكون لهم مقام مشترك في هذه الحالة يتم جمع البسط وتوحيد المقام مثل + =
- عند ضرب عددين نسبيين في بعضهم البعض يكون عبارة عن حاصل ضرب البسيطين مقسوم على حاصل ضرب المقامين مثل ==.
- مربع الجذر التربيعي يساوي دائمًا عددًا نسبيًا وهو يكون العدد الموجود داخل الجذر.
- في حالة الضرب للجذور النسبية يؤدي ذلك إلى الحصول على أعداد نسبية في معظم الأوقات ==2 وهو عدد نسبي صحيح حقيقي.
- الصورة القياسية للعدد النسبي هي وجود عامل مشترك بين البسط والمقام وتكون قيمته مساوية للرقم 1.
- تتمتع الأعداد النسبية بخاصية الكثافة فبين كل عددين نسبيين توجد أعداد لا نهائية محصورة بينهم.
- كلما تم تكبير المقام زاد الأعداد النسبية فبين 25,35 لا يوجد اعداد بين الرقم 2 والرقم 3.
- يطلق على العدد النسبي أنه العدد النسبي القياسي في حالة لا يمكن أن يتم اختصارها إلى أكثر من ذلك ويكون العامل المشترك الوحيد بين كلًا من البسط والمقام هو الواحد الصحيح.
شاهد من هنا : مسائل رياضيات ذكاء صعبة للعباقرة
أمثلة توضيحية على الأعداد النسبية
| العدد | نسبي أم غير نسبي |
| 4 | نسبي لأنه عدد صحيح موجب |
| -2 | نسبي لأنه عدد صحيح سالب. |
| 5/4 | نسبي لأنه كسر ويحتوي على بسط ومقام وإعداده صحيحة |
| 6.2 | نسبي لأنه عدد عشري منتهي. |
| 25√ | نسبي لأنه جذر مربع كامل |
| 53√ | غير نسبي لأنه ليس مربع كامل |
| π | غير نسبي لأن الرقم الخاص بباي رقم عشري غير منتهي. |
عمليات خاصة بالأعداد النسبية
- عملية الجمع: يمكن جمع عدد نسبيين ويكون الناتج عدد نسبي.
- عملية الطرح: في حالة طرح عددين نسبيين يكون الناتج عدد نسبي.
- عملية الضرب: عند ضرب عددين نسبيين نحصل على عدد نسبي.
- القسمة: عندما تتم عملية القسمة لعددين نسبيين يكون النتيجة عدد نسبي.
يمكن عمل قسمة الأعداد النسبية بطريقة أكثر تبسيطًا عن طريق قلب العدد النسبي الثاني وتحويل عملية القسمة إلى ضرب مثل:
أشهر العلماء الذين قاموا بدراسة العدد النسبي
- فيثاغورس.
- الخوارزمي.
- ابن الهيثم.
- ارخميدس.
الأعداد غير النسبية
- عبارة عن أعداد لا يمكن كتابتها على هيئة كسور ولكن يمكن كتابتها على هيئة أعداد عشرية وتكون تلك الأعداد العشرية غير منتهية.
أمثلة خاصة على الأعداد الغير نسبية.
- جذور بعض الأعداد مثل الجذور التربيعية والتكعيبية لبعض الأرقام مثل.
- النسبة الذهبية وتكون قيمة النسبة الذهبية هي 6180339887……. وتستمر إلى أرقام لا نهائية.
- ثابت أويلر e وهو من الأعداد الغير نسبية وتكون قيمته 718281828459…….. وتستمر تلك النسبة إلى عدد لا نهائي ولا يمكن كتابته على صور
- عمليات الجمع أو الطرح الأعداد الغير نسبية لا يمكن أن ينتج عنها أعداد مركبة نسيبة إلا إذا كان العددين النسبين متساوين ولكن لهم إشعار مختلفة فيكون الناتج عدد نسبي وهو الصفر.
الأعداد الحقيقية
هي الأعداد المتواجدة على خط الأعداد وتشمل الأعداد النسبية وغير النسبية والموجبة والسالبة وحتى الصفر يعتبر من الأعداد الحقيقة.
الأعداد الصحيحة
- تشمل الأعداد الموجبة والسالبة ولا تشمل الأعداد النسبية أو أعداد عشرية وتعتبر الأعداد الصحية أعداد نسبية لأنه يمكن كتابتها على صورة بسط ومقام مثل
- 5 هو رقم موجب ويمكن كتابته على صورة
- -7 هو رقم سالب ويمكن كتابته على صورة
الأعداد الأولية
- هي مجموعة الأعداد التي تقبل القسم على نفسها فقط أو تقبل القسمة على الواحد الصحيح مثل,2,3,….)).
الأعداد المركبة
- هي باقي الأعداد غير الأولية المتبقية.
الأعداد الكاملة
- هي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر كذلك.
الأعداد الزوجية والفردية
- الزوجية هي الأعداد الصحية التي تقبل القسمة على 2 ولا يكون هناك باقٍ.
- الفردية هي الأعداد الصحيحة التي لا تقبل القسمة على 2 ويكون هناك باقٍ.
الأعداد السالبة والأعداد الموجبة
- السالبة هي الأرقام الصحيحة وتكون أقل من الصفر.
- الموجبة هي الأرقام الصحيحة وتكون أكبر من الصفر.
الأعداد الكسرية
هي التي يمكن كتابتها على صور كسور ولا يمكن أن يساوي المقام الصفر ويكون كلًا من البسط والمقام أعداد صحيحة.
هي أحد صور الأعداد الكسرية ويمكن التعبير عنها .
الكسور العشرية
- الكسور العشرية النسبية: وهي التي يمكن إنهاء الرقم العشري الخاص بها وتكتب على صور كسر مثل 8 وتكون كتابته عن صور كسر .
- السكور العشرية الغير نسبية: هي التي لا يمكن إنهاء الكسر العشري الخاص بها مثل باي والتي تساوي 41592653589… وهو رقم عشري غير منتهي.
تسير المنظومة التعليمية الآن في اتجاه تبسيط المعلومة قدر الإمكان؛ وذلك لكي يستطيع الدارس فهمها بكل سهولة دون مزيد من التعقيدات.
